Сергей Каспров родился в 1979 году в Москве. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальностям «фортепиано и исторические клавишные инструменты» (класс профессора Алексея Любимова) и «орган» (класс профессора Алексея Паршина) и ассистентуру-стажировку вуза. В дальнейшем совершенствовался в Schola Cantorum в Париже под руководством профессора Игоря Лазько как стипендиат Французского Правительства (2004).
Победитель международных конкурсов имени М. В. Юдиной (Гран-при), имени Николая Рубиштейна и имени Александра Скрябина в Париже.
С 2007 года начал преподавать в Московской консерватории в качестве ассистента Алексея Любимова, затем вел собственный класс на кафедре клавишных инструментов Факультета исторического и современного исполнительского искусства (в 2010–2020 гг. – доцент). В 2021–2023 гг. преподавал в Гонконге по приглашению всемирно известного китайского пианиста Лю Ши Куня.
Ведет активную концертную деятельность, выступая на крупнейших концертных площадках Европы. Участник фестивалей в Ла-Рок-Д’Антероне (Франция), Руре (Германия), замке Графенегг и Санкт-Галлене (Австрия), Klara Festival в Бельгии, «Шопен и его Европа» и «Музыкальные сады» в Варшаве, Musicales Internationales Guil Durance (Франция), «Площадь искусств» (Санкт-Петербург), «Декабрьские вечера Святослава Рихтера» (Москва).
Выступал с известными коллективами, в числе которых Госоркестр России имени Е. Ф. Светланова, Санкт-Петербургский академический симфонический оркестр, Камерный филармонический оркестр (La Chambre Philharmonique) в Париже, Симфонический оркестр Токио и другие. Среди дирижеров, с которыми сотрудничал пианист, – Владимир Альтшулер, Аркадий Штейнлухт, Владимир Вербицкий, Эммануэль Кривин, Александр Рудин.
Помимо современного рояля играет на исторических клавишных инструментах – хаммерклавире и романтическом фортепиано.
С 2015 года сотрудничает с японским концертным агентством IMC, выступая на престижных сценах Японии, среди которых Сантори-холл, театр Бунка Кайкан, Топпан-холл и другие.
Записи музыканта транслировались на волнах радиостанций «Орфей», Би-би-си, France Musique и Radio Klara. Сольный альбом пианиста Exploring Time With My Piano (Alpha, 2014) был отмечен премиями Choc de Classica и Diapason découverte.