Николай Алексеев родился в 1956 году в Ленинграде (Санкт-Петербург). Окончил Ленинградское хоровое училище имени М. И. Глинки и Ленинградскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова по специальностям «хоровое дирижирование» (класс Авенира Михайлова) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс Арвида Янсонса при участии Мариса Янсонса). Стажировался в Кировском (Мариинском) театре под руководством Юрия Темирканова.
Творческая деятельность музыканта, лауреата международных конкурсов Фонда Герберта фон Караяна (Берлин, 1982), имени Вацлава Талиха (Прага, 1985) и Мин-Он (Токио, 1985), чрезвычайно насыщенна. Он возглавлял оркестр Загребской филармонии, выступал за пультом Академического симфонического оркестра Московской филармонии, Большого симфонического оркестра имени П. И. Чайковского, Российского национального оркестров, работал с такими зарубежными коллективами, как Королевский оркестр Консертгебау (Амстердам), филармонические оркестры Роттердама, Дрездена, Штутгарта и Копенгагена, Берлинский и Балтиморский симфонические оркестры, Королевский Ливерпульский филармонический оркестр, Шотландский симфонический оркестр Би-би-си и New Japan Philharmonic.
В 2001–2010 гг. Николай Алексеев руководил старейшим в Прибалтике Эстонским национальным симфоническим оркестром (за работу с коллективом музыканту в 2006 году был присвоен эстонский орден Белой звезды 3-й степени, а в 2010-м присуждена Государственная премия Эстонской Республики в области культуры).
Дирижер гастролировал в странах Европы (Германия, Франция, Италия, Бельгия, Нидерланды, Финляндия, Словения, Греция, Латвия, Литва), Великобритании, Латинской Америке, в Южной Корее, Японии и США.
В 2018–2024 гг. Николай Алексеев занимал пост главного дирижера Филармонического оркестра Ульсана (Южная Корея), став первым иностранцем, возглавившим коллектив.
С 2000 года – дирижер Заслуженного коллектива России академического симфонического оркестра Санкт-Петербургской филармонии имени Д. Д. Шостаковича. В 2022 году занял пост главного дирижера коллектива, с 2024-го – главный дирижер филармонии.
Под управлением Николая Алексеева впервые прозвучали Вторая и Пятая Данте-симфонии Тищенко, Тринадцатая симфония Слонимского, «Фигура речи» и «Еретик» Королёва, «Царские распевы» Корчмара, Симфония Воронова (посвященная Заслуженному коллективу России и Николаю Алексееву); осуществлены российские премьеры Первой симфонии (The Triumph of Heaven) и фантазии Wunderbare Leiden Борисовой-Оллас, фантазии для фортепиано с оркестром «Ромео и Джульетта» Варенберга, созданной на основе Симфонии № 1 Рахманинова, петербургские премьеры Concerto cantabile Щедрина и Пятого скрипичного концерта Паганини; в прошлом сезоне исполнены симфоническая поэма «Франческа да Римини» Тищенко, сочинения Хиндемита: Шесть хоров на стихи Рильке и кантата Apparebit repentina dies.
В 2006 году музыканту присвоено почетное звание «Народный артист Российской Федерации»; в 2017 году присуждена Премия Правительства Санкт-Петербурга за концертные программы 2016 года. В феврале 2022 года указом Президента России Николай Алексеев награжден орденом Дружбы за большой вклад в развитие отечественной культуры и искусства, многолетнюю плодотворную деятельность.
Выступлениями дирижера традиционно открывается и закрывается филармонический сезон. В числе событий сезона 2026/27 – несколько абонементных циклов (в том числе «DSCH – код Шостаковича» к 120-летию со дня рождения композитора и «Рыцарь виолончели» к 100-летию со дня рождения Мстислава Ростроповича), концерты в рамках XXVI Международного зимнего фестиваля «Площадь Искусств», гастроли в Японию и Китай, выступления в Новосибирске и Москве.