Максим Сажин родился в 1978 году в Костроме. Окончил вокальный факультет Московского государственного университета культуры и искусств (класс Галины Миценко). Лауреат III Всероссийского открытого конкурса вокальной музыки имени Г. В. Свиридова, II Международного конкурса молодых оперных певцов памяти М. Д. Михайлова, дипломант III Всероссийского открытого конкурса оперных певцов «Санкт-Петербург» и Международного конкурса теноров памяти Лучано Паваротти. 

В 2004–2008 гг. – солист Марийского театра оперы и балета, в 2007–2009 гг. – Центра оперного пения Галины Вишневской. В 2008 году стал солистом Детского музыкального театра имени Н. И. Сац, в 2009-м – приглашенным солистом театра «Русская опера». В 2010 году принимал участие в исполнении незавершенных опер Шостаковича «Игроки» и «Большая молния» в Париже, Безансоне, Москве и Перми с Оркестром Парижской консерватории под управлением Дмитрия Юровского и Ярослава Ткаленко (проект «Неизвестный Шостакович» в рамках Года России – Франции).

С 2010 года – приглашенный солист Государственной академической симфонической капеллы России, с 2013 года – солист. Участвовал в исполнении опер Верди, Пуччини, Доницетти, Леонкавалло, Понкьелли, Чайковского, Римского-Корсакова, Мусоргского, Прокофьева, оперетт Штрауса, Кальмана, Легара, ряда кантатно-ораториальных сочинений. Исполнил партию Сеид Берека в мировой премьере оперы Александра Чайковского «Легенда о граде Ельце, Деве Марии и Тамерлане». 

Исполнял партию Юродивого в опере «Борис Годунов» Мусоргского в Королевской опере Валлонии в Льеже (Бельгия) и на Международном музыкальном фестивале в Сантандере (Испания); спел партии Носа и Ярыжкина в постановке оперы «Нос» Шостаковича в Лионской опере, Римской опере и на Международном театральном фестивале в Экс-ан-Провансе (Франция). Сотрудничал с Пермским академическим театром оперы и балета, с труппой театра гастролировал в Ирландии (исполнял партию Альфреда в опере Верди «Травиата» на сцене Grand Canal Theatre в Дублине).