Клара-Джуми Кан родилась в Германии в семье музыкантов. Начала играть на скрипке с трех лет. Год спустя поступила в Высшую школу музыки в Мангейме (класс Валерия Градова), став самой юной учащейся за всю историю учреждения. Затем продолжила обучение в классе Захара Брона в Высшей школе музыки в Любеке, с семи лет – в классе Дороти Делэй в Джульярдской школе в Нью-Йорке. В 9-летнем возрасте участвовала в записи Тройного концерта Бетховена для Teldec и записала на этой фирме сольную программу.
В 11 лет Клара-Джуми получила травму руки и в течение нескольких лет не играла на скрипке. В последующие годы окончила Корейский национальный университет искусств (класс Нам-Юн Ким) и стала лауреатом конкурсов скрипачей в Швейцарии (имени Тибора Варги, 2007, I премия), Сеуле (2009, II премия), Ганновере (2009, II премия), Сендае (2010, I премия), Индианаполисе (2010, I премия и пять специальных призов). С 2011 года Клара-Джуми живет в Мюнхене, где в 2013 году завершила образование в Высшей школе музыки, совершенствуясь под руководством Кристофа Поппена. На XV Международном конкурсе имени П. И. Чайковского в Москве (2015) была удостоена IV премии и специального приза за лучшее исполнение концерта Моцарта с камерным оркестром.
Выступала в крупнейших музыкальных центрах мира, в том числе в Карнеги-холле в Нью-Йорке, амстердамском зале Консертгебау, зале Де Дулен в Роттердаме, Сантори-холле в Токио, Большом зале Московской консерватории и Концертном зале имени П. И. Чайковского; принимала участие во многих известных фестивалях.
Сотрудничала с ведущими оркестровыми коллективами под управлением выдающихся дирижеров, в числе которых Чон Мён Хун (Мюнг-Вун Чунг), Гилберт Варга, Хайнц Холлигер, Юрий Темирканов, Валерий Гергиев, Хартмут Хенхен, Кристоф Поппен, Андрей Борейко, Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Лионель Бренгье, Михаил Плетнёв, Лю Цзя, Казуки Ямада и др. Играла в ансамбле с Гидоном Кремером, Мишей Майским, Борисом Березовским, Юлианом Рахлиным, Ги Браунштейном, Борисом Андриановым, Максимом Рысановым. Регулярно принимает участие в проектах ансамбля Spectrum Concerts Berlin в Берлинской филармонии.
В 2011 году артистка выпустила первый сольный альбом (Modern Solo) на фирме Decca. В 2016 году на той же фирме вышел новый диск со скрипичными сонатами Брамса и Шумана, записанный с корейской пианисткой, лауреатом конкурса имени П. И. Чайковского, Йол Юм Сон. В сезоне 2021/22 под лейблом Accentus выходит полное собрание скрипичных сонат Бетховена, которые Клара-Джуми Кан и пианист Ким Сон Ук записали к 250-летию со дня рождения композитора; в поддержку альбома дуэт проводит гастроли по Корее.
В 2012 году Клара-Джуми была отмечена Музыкальной премией компании Daewon, в 2014 году получила премию «Музыкант года» от компании Kumho.
Играет на скрипке «Экс-Штраус» работы Антонио Страдивари (1708), предоставленной корейским Культурным фондом Samsung.