Дмитрий Шишкин родился в 1992 году в Челябинске. В трехлетнем возрасте впервые выступил на сцене, в шесть лет сыграл с оркестром, в восемь был назван «Человеком года» в Челябинске в номинации «Юное дарование». С четырех лет обучался в челябинской Средней специальной музыкальной школе имени П. И. Чайковского, в этот период стал победителем юношеских конкурсов «Щелкунчик», имени Фридерика Шопена в Пекине и имени Марии Юдиной в Санкт-Петербурге.

Окончил Московскую среднюю специальную музыкальную школу (колледж) имени Гнесиных (2010, класс Михаила Хохлова) и Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (2015, класс профессора Элисо Вирсаладзе). Совершенствовал мастерство у Эпифанио Комиса в Консерватории имени Винченцо Беллини в Катании.

Лауреат международных конкурсов имени Ферруччо Бузони в Больцано (Италия, 2013, III премия и специальный приз за лучшее исполнение концерта Моцарта), под патронатом Бразильского банка экономического и социального развития (BNDES) в Рио-де-Жанейро (Бразилия, 2014, II премия), имени Фридерика Шопена в Варшаве (2015, IV премия), Top of the World в Тромсё (Норвегия, 2017, I премия), в Женеве (Швейцария, 2018, I премия и три специальных приза), имени П. И. Чайковского в Москве (2019, II премия).

Гастролировал во многих странах Европы и Азии, в США и ЮАР. Играл на престижных сценах – в Большом зале Московской консерватории, Концертном зале имени П. И. Чайковского, МКЗ «Зарядье» в Москве, Концертном зале Мариинского театра в Санкт-Петербурге, женевском Виктория-холле, венском Концертхаусе, брюссельском Центре изящных искусств Bozar, Варшавской филармонии, Токийском столичном театре и др.

Выступал с Российским национальным оркестром, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, БСО имени П. И. Чайковского, АСО Московской филармонии, Госоркестром Республики Татарстан и ГСО «Новая Россия», Национальным филармоническим оркестром России, Московским государственным академическим симфоническим оркестром, Симфоническим оркестром Мариинского театра, оркестрами Государственных капелл Санкт-Петербурга и Веймара, оркестром Романдской Швейцарии, Варшавским филармоническим, Бразильским симфоническим, Национальным оркестром Бельгии и другими коллективами.

Сотрудничал с известными дирижерами, в числе которых Валерий Гергиев, Михаил Плетнёв, Александр Рудин, Владимир Спиваков, Юрий Симонов, Владимир Федосеев, Владислав Чернушенко, Павел Коган, Марин Олсоп, Александр Сладковский, Роберту Тибириса, Арман Тигранян и другие. Принимал участие в музыкальных фестивалях в Вербье (Швейцария), Дубровнике (Хорватия), «Шопен и его Европа» (Польша), в Бергене (Норвегия), в Брешии и Бергамо (Италия), в концерте к 85-летию Родиона Щедрина в Москве (2017) и других событиях.

Выступления пианиста транслируются по телевидению и радио России, Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии, Испании, Норвегии, Польши, Хорватии, Китая, Кореи, Японии. Выпустил несколько компакт-дисков; последняя запись – с сочинениями Метнера, Скрябина и Рахманинова – осуществлена в марте 2020 под лейблом La Dolce Volta. В планах музыканта – запись сольного диска на фирме Sony Classics.