Давид Посулихин родился в 1994 году в Орле. Окончил Музыкальное училище имени Гнесиных (2014, класс Николая Васильева) и Российский институт театрального искусства (ГИТИС, 2018, мастерская профессора Дмитрия Бертмана, класс вокала профессора Николая Васильева). Во время учебы исполнял партии Ленского («Евгений Онегин» Чайковского), Вашека («Проданная невеста» Сметаны), Неморино, Беппо («Любовный напиток», «Рита» Доницетти) и Николая Фигаренко («Женитьба Фигаренко» Таривердиева).
Был стипендиатом Международного благотворительного фонда Юрия Розума.
Победитель Московского международного открытого фестиваля академического сольного пения «Серебряный голос» (2013, I степень), Международного студенческого конкурса вокалистов Лидии Абрамовой Bellavoce(Москва, 2014, I премия), лауреат XIV Молодежных Дельфийских игр России (Орел, 2015, II премия) и Международного конкурса вокалистов имени А. П. Иванова (Тверь, 2015, II премия).
В 2018–2022 гг. – артист Молодежной оперной программы Большого театра России. В рамках программы совершенствовался под руководством известных певцов и вокальных педагогов, среди которых Нил Шикофф, Эва Мартон, Алессандро Аморетти, Любовь Орфёнова, Семён Скигин и Ивари Илья. На сцене Большого исполнил партии Первого Тролля («История Кая и Герды»), Тамино, Дона Курцио («Волшебная флейта», «Свадьба Фигаро» Моцарта), Первого иудея («Саломея» Р. Штрауса). Принимал участие в концертах в Бетховенском зале театра, в гастролях Большого в Париже и Ницце.
Участвовал в Международной музыкальной академии (руководитель – Дмитрий Вдовин) в рамках Зимнего международного фестиваля искусств Юрия Башмета в Сочи (2018) и программе для молодых артистов Fabbrica в Римской опере (2019), а также выступил на фестивале Orfeo в Випитено (Италия).
С 2018 года – приглашенный солист Московского музыкального театра «Геликон-опера», на сцене которого исполнял партии в операх «Садко» Римского-Корсакова (Индийский гость), «Пирам и Фисба» Лэмпа (Пирам) и «Волшебная флейта» Моцарта (Тамино, номинирован на Российскую национальную театральную премию «Золотая маска» в категории «Опера/мужская роль»). С 2022 года – солист «Геликон-оперы».
Сотрудничал с известными дирижерами, среди которых Владимир Спиваков, Юрий Башмет, Туган Сохиев, Антон Гришанин, Алексей Верещагин, Валерий Кирьянов, Евгений Бражник, Филипп Селиванов.