Борис Бровцын родился в 1977 году в семье артистов Большого театра. В четыре года он начал играть на скрипке под влиянием деда, который был учеником Льва Цейтлина и Абрама Ямпольского. Его первое выступление перед публикой состоялось в шесть лет, а в тринадцать он уже дал первый концерт с оркестром на сцене Большого театра. Вскоре, после исполнения Концерта для скрипки с оркестром Мендельсона, на юного музыканта обратили внимание педагоги фонда «Новые имена», после чего он стал стипендиатом фонда и постоянным участником гастрольных туров по Франции (1992, UNESCO Congress Hall; 1993, Opera Comique), Италии (1993, в летней резиденции Иоанна Павла II), а также по России и странам СНГ.
Борис окончил ЦМШ при Московской консерватории им. П.И.Чайковского (1994, класс доц. Г.Я.Фейгина), Московскую консерваторию (1999, класс проф. М.С.Глезаровой). В 2000-2004гг. обучался в Лондонской Guildhall School of Music&Drama (класс проф. Д.Такено), окончив её с золотой медалью. Совершенствовался в Southern Methodist University в Далласе (класс проф. Э.Шмидера).
За годы учёбы Б.Бровцын стал лауреатом ряда престижных международных конкурсов: Georg Kulenkampf (1994, Кёльн), Transnet (1996, Претория), Yehudi Menuhin (1998, Франция), Tibor Varga (2002, Швейцария, I премия), дипломантом Конкурса им. Бельгийской королевы Елизаветы (2001, Брюссель). Обладатель престижных премий: Reuters Prize (2001), Hattori Foundation Award (2003, 2004), Myra Hess Award (2003, 2004). В 2004 году он выиграл самую высокую награду GSMD — Gold Medal (среди предыдущих её обладателей были такие музыканты, как Жаклин дю Пре, Тасмин Литтл и Брин Терфел).
Б. Бровцын активно концертирует по России и за её пределами как солист, ансамблист и с лучшими симфоническими и камерными оркестрами России и мира, среди которых ГАСО им. Е.Ф.Светланова, оркестр ГАБТа, ГАКО России, камерный ансамбль «Солисты Москвы», оркестр Берлинского радио, симфонический и филармонический оркестры ВВС, филармонический оркестр Монте-Карло, Национальный оркестр Бельгии, оркестры Романской и Итальянской Швейцарии, Страсбургский филармонический оркестр и Национальный оркестр Лилля (Франция), филармонический оркестр Сан-Паулу (Бразилия), Исландский симфонический оркестр, Национальный оркестр Эстонии, оркестр Болгарского радио, Льежский филармонический оркестр (Бельгия), Симфонический оркестр Претории (ЮАР), камерный оркестр English Classical Players. Сотрудничает с выдающимися дирижёрами наших дней — такими, как Ю.Башмет, В.Федосеев, А.Лазарев, М.Горенштейн, В.Синайский, П.Коган, А.Ломбард, Я.П.Тортелье, Ж.Варга, М.Яновский, А.Вольмер, Э.Гардинер, Г.Альбрехт.
Среди партнёров Б.Бровцына по камерному музицированию — М.Майский, Г.Кремер, Ж.Янсен, Ю.Рахлин, Э.Паю, Ш.Кам, струнные квартеты Belchea, Jerusalem, Brodsky. Скрипач регулярно принимает участие в международных фестивалях в России («Возвращение», «Звёзды на Байкале», «Молодые звёзды России», проект «Поколение звёзд»), Шлезвиг-Гольштейне (Германия), Эдинбурге (Шотландия), Вербье (Швейцария), Утрехте (Нидерланды), Иерусалиме (Израиль), Оксфорде (Великобритания) и др.
В настоящее время скрипач постоянно проживает в Лондоне.