Анна Цыбулёва родилась в Карачаево-Черкесии. Окончила Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и ассистентуру-стажировку (класс профессора Людмилы Рощиной), продолжила обучение в Базельской академии музыки (класс профессора Клаудио Мартинеса Менера).

В 2015 году одержала победу на престижном конкурсе пианистов в Лидсе (Великобритания), став второй в истории конкурса женщиной, получившей главную награду. Является лауреатом конкурсов пианистов в Хамамацу и Такамацу в Японии и других состязаний.

Анна Цыбулёва выступала в Уигмор-холле в Лондоне, Тонхалле в Цюрихе, зале Консертгебау в Амстердаме, Шанхайском восточном центре искусств и на других престижных сценах. Сотрудничает с известными коллективами, в числе которых Лондонский, Люцернский и Базельский симфонические оркестры, оркестр Мариинского театра, Национальный филармонический оркестр России, Токийский филармонический оркестр, Симфонический оркестр Сингапура. Выступала с такими дирижерами, как Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Юрий Темирканов, Ален Альтиноглу, Ристо Йост, Марин Олсоп, Марк Элдер.

Выпустив несколько сольных альбомов, Анна подписала в 2019 году эксклюзивный контракт с британским звукозаписывающим лейблом Signum Classics и записала для него Второй фортепианный концерт Брамса с Немецким симфоническим оркестром Берлина.

В 2019 году пианистка вошла в состав жюри Международного телевизионного конкурса юных музыкантов «Щелкунчик». С 2021 года – артистка Yamaha. Идеолог и арт-директор фестиваля музыки и науки «Другой звук».