Андрей Булгаков родился в Барнауле. Окончил Колледж имени Гнесиных, исполнив на выпускном курсе партию Мизгиря в опере «Снегурочка» Римского-Корсакова (2017), и Российский институт театрального искусства – ГИТИС (2022, мастерская Дмитрия Бертмана), исполнив в дипломном спектакле курса партию Дона Аннибале в опере «Колокольчик» Доницетти, а также партии Альциндора и Бенуа в опере «Богема» Пуччини.
В 2022/23 был участником Молодежной программы Московского театра «Геликон-опера» под руководством Дмитрия Бертмана, дебютировал в партии Барона Дюфоля («Травиата» Верди), позже выступил в партии Шонара («Богема»).
Участвовал в мастер-классах Ильдара Абдразакова, Хиблы Герзмавы, Ольги Бородиной, Тамары Синявской, Рузанны Лисициан, Джанкарло дель Монако, Мзии Бахтуридзе, Дмитрия Вдовина, Дмитрия Корчака, Амброджо Маэстри, Любови Орфёновой, Екатерины Катюковой, Игоря Головатенко, Марины Мещеряковой, Владислава Сулимского, Маквалы Касрашвили, Михаила Петренко, Екатерины Вашерук, Александры Голубицкой, Семёна Скигина, Михаила Светлова, Рамона де Андреса, Марко Боэми и др.
Лауреат международных конкурсов – юных вокалистов Елены Образцовой (Санкт-Петербург, специальная премия), юных вокалистов имени Фёдора Шаляпина (Москва), Musica Classiсa (Москва), «Богатство голоса» (Испания, Льорет-де-Мар).
В 2022–2023 гг. – солист Центра оперного пения имени Галины Вишневской, на сцене которого исполнял партии в операх Пуччини: Амантио Ди Николао, Спинеллоччо и Пинеллино («Джанни Скикки») и Шонара («Богема»).
С 2023 года – артист Молодежной оперной программы Большого театра России, где на следующий год дебютировал в партии Гульельмо («Так поступают все женщины» Моцарта). На сцене театра исполнил партии Эбн-Хакиа («Иоланта» Чайковского), Марулло и Сильвана («Риголетто» и «Бал-маскарад» Верди), Второго актера и Второго разбойника («История Кая и Герды» Баневича), Гонца («Сказка о царе Салтане» Римского-Корсакова), Прокурора («Мертвые души» Щедрина), Управляющего («Большая молния» Шостаковича), Головы («Ночь перед Рождеством» Римского-Корсакова – дебют в спектакле Мариинского театра на Новой сцене), Шонара и принца Ямадори («Богема» и «Мадам Баттерфляй» Пуччини). В спектаклях Мариинского театра на сцене Большого исполнил партии в операх Прокофьева: Дона Карлоса и Дона Фердинанда («Обручение в монастыре»), Леандра («Любовь к трем апельсинам»), Метивье, Маршала Бертье и Денисова («Война и мир»).
В 2024 году дебютировал на сцене Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова в партии Метивье в спектакле «Война и мир. Наташа и Андрей» – совместном проекте театра «Новая опера», Молодежной оперной программы Большого театра и Мастерской Брусникина.
В 2025 году исполнил партию Эбн-Хакиа в опере «Иоланта» в авторской версии Юрия Башмета в рамках проекта «Ночь Чайковского в Клину», позже выступив в этой постановке в Зале Чайковского, на фестивалях искусств Юрия Башмета в Сочи и Ярославле, в Самарском академическом театре оперы и балета имени Д. Д. Шостаковича.
В 2026 году дебютировал в партии Фридриха фон Тельрамунда («Лоэнгрин» Вагнера) в МКЗ «Зарядье».
В числе дирижеров, с которыми сотрудничал певец, – Юрий Башмет, Марко Боэми, Евгений Бражник, Алексей Верещагин, Валерий Гергиев, Антон Гришанин, Тимур Зангиев, Валерий Кирьянов, Клеман Нонсьё, Иван Рудин, Филипп Селиванов, Ярослав Ткаленко, Олег Худяков и др.
Гастролировал в Италии, Германии, Австрии, Испании, Греции, Польше, Китае.