Алексей Верещагин родился в 1983 году в Москве. Окончил с отличием Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по специальностям «хоровое дирижирование» (класс профессора Бориса Тевлина) и «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Игоря Дронова), затем аспирантуру МГК. 

В период учебы – стипендиат Международного фонда культурных и гуманитарных программ Мстислава Ростроповича и стипендиат Правительства РФ. Обладатель Гран-при Всероссийского конкурса дирижеров имени С. Г. Эйдинова в Магнитогорске (2006).

Как пианист-концертмейстер участвовал в концертах Камерного хора Московской консерватории под управлением Бориса Тевлина в Москве и за рубежом (Франция, Великобритания, Япония, 2005–2008) и в подготовке мировой премьеры оперы «Боярыня Морозова» Щедрина (2006). 

В 2005 году вошел в дирижерско-стажерскую группу Национального филармонического оркестра России, участвовал в концертах коллектива в Доме музыки и Зале имени Чайковского. Сотрудничал с Юношеским симфоническим оркестром России имени Л. В. Николаева, Симфоническим оркестром Москвы «Русская филармония» и Московским государственным академическим симфоническим оркестром под управлением Павла Когана. Совершенствовал дирижерское мастерство, ассистируя при подготовке симфонических и оперных программ Владимиру Юровскому, Михаилу Плетнёву, Владимиру Спивакову, Теодору Курентзису. 

В июне 2010 года дебютировал в Камерном музыкальном театре имени Б. А. Покровского с оперой «Джанни Скикки» Пуччини. Через год состоялся дебют Верещагина на международной сцене – в Королевском театре Пармы (Италия), где он дважды провел оперу «Нос» Шостаковича. В Камерном театре был ассистентом Геннадия Рождественского, выступил дирижером-постановщиком опер «Три Пинто» Вебера – Малера, «Леонора» Бетховена, «Мавра» Стравинского. С этими спектаклями выступал на фестивалях в Австрии, Эстонии, Молдавии. 

В репертуаре Алексея Верещагина – оперы разных эпох, от барокко до современности: «Пимпиноне» Телемана, «Царь и плотник» Лортцинга, «Дворянское гнездо» Ребикова, «Черевички» П. И. Чайковского, «Альтист Данилов» А. Чайковского, «Дневник Анны Франк» Фрида и другие. За последние годы его репертуар пополнился операми «Маленький трубочист» Бриттена, «Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса, «Турок в Италии» Россини, «Сервилия» Римского-Корсакова. В 2013 году под управлением Верещагина на фестивале «Декабрьские вечера» исполнялась опера «Мавра» Стравинского, в 2014-м – кантата «Иоанн Дамаскин» Танеева. 

С 2018 года – дирижер Камерной сцены имени Б. А. Покровского Большого театра России, где выступил музыкальным руководителем возобновления оперы «Сорочинская ярмарка» Мусоргского (2018), постановок «Телефон. Медиум» (2019) и «Искатели жемчуга» (2020). Участвовал как ассистент дирижера-постановщика Тугана Сохиева в постановках опер «Евгений Онегин» Чайковского (2019) и «Саломея» Р. Штрауса (2021, Историческая сцена). 

Кроме того, Алексей Верещагин был дирижером-постановщиком оперы «Евгений Онегин» Чайковского в рамках летней оперно-симфонической лаборатории New Opera World (2017) и дирижером одноименного вокального конкурса, а также дирижировал мюзиклом «Суинни Тодд, маньяк-цирюльник с Флит Стрит» Стивена Сондхайма в Московском театре на Таганке.