Александр Рамм родился в 1988 году во Владивостоке. Окончил Московское государственное училище музыкального исполнительства имени Ф. Шопена (класс Марии Журавлевой), Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс профессора Наталии Шаховской), затем продолжил обучение в аспирантуре МГК и Высшей школе музыки имени Ханса Айслера в Берлине (класс Франса Хельмерсона).

Лауреат международных конкурсов в Бостоне (Кембриджский, 2005, I премия), Претории (UNISA, 2010, IV премия), Пекине (2010, I премия), Загребе (имени Антонио Янигро, 2012). В 2013 году завоевал III премию на конкурсе Paulo Cello в Хельсинки, став первым в истории состязания лауреатом из России. В 2010 году одержал победу в I Всероссийском музыкальном конкурсе в Москве, в 2015 году завоевал II премию XV Международного конкурса имени П. И. Чайковского в Москве. C 2009 года играет в постоянном дуэте с пианисткой Анной Одинцовой, в 2012 году ансамбль стал лауреатом конкурса дуэтов в Швеции. В июне 2023 года Александр Рамм участвовал в работе жюри ХVII Международного конкурса имени П. И. Чайковского.

В 2010 году участвовал в фестивалях и мастер-классах Академии Куршевеля и Holland Music Sessions, в 2011 году совершенствовался в академии для молодых музыкантов фестиваля в Вербье, по итогам академии был отмечен призом женевского фонда Neva.

С 2011 года выступает в концертах Московской филармонии, участник проекта «Звезды XXI века». С 2012 года – солист Санкт-Петербургского Дома музыки.

Сотрудничает с ведущими оркестрами и знаменитыми дирижерами, в числе которых Владимир Спиваков, Валерий Гергиев, Владимир Федосеев, Юрий Башмет, Александр Лазарев, Владимир Юровский, Дмитрий Юровский, Василий Петренко, Николай Алексеев, Александр Сладковский, Станислав Кочановский. Постоянные сценические партнеры музыканта – Денис Мацуев, Вадим Репин, Николай Луганский, Сергей Крылов, Александр Гиндин, Павел Милюков, Филипп Копачевский.

Гастролировал в Швеции, Великобритании, Австрии, Германии, Франции, Финляндии, Болгарии, Сербии, ЮАР, Японии, Южной Корее, Литве; выступал в Брукнерхаусе в Линце, культурном центре «Метрополитен», Nikkei Hall и Малом зале (Musashino Shimin) театра Бунка Канкай в Токио, зале Консертгебау в Амстердаме, Парижской филармонии, Кадоган-холле в Лондоне, Симфони-холле в Бирмингеме, Концертном зале Мариинского театра, Концертном зале имени П. И. Чайковского.

Концерты виолончелиста транслировались каналами «Россия – Культура», Medici.tv, Mezzo. В 2018 году фирма «Мелодия» выпустила сольный диск Рамма с записью всех сюит для виолончели соло Бриттена. Релиз заслужил высокую оценку российских и зарубежных критиков, а также был удостоен премии «Выбор слушателей» от нью-йоркского фонда VioloncelloFoundation.

Александр Рамм играет на виолончели Alessandra (2009) работы современного мастера Габриэля Джебрана Якуба. В 2024 году удостоен Премии Президента РФ для молодых деятелей культуры.