Александр Миминошвили родился в 1985 году в Ставропольском крае. В 2011 году окончил Российскую академию театрального искусства (РАТИ-ГИТИС, факультет музыкального театра, класс Татьяны Башкировой). С 2009 года пел на сцене Московского музыкального театра «Геликон-опера», где в его репертуар вошли партии Фигаро («Свадьба Фигаро» Моцарта), Анджело («Запрет на любовь» Вагнера), Ренато («Бал-маскарад» Верди), Квартального («Леди Макбет Мценского уезда» Шостаковича), Данкайро («Кармен» Бизе) и другие.
С 2012 года – приглашенный солист Большого театра России, на сцене которого исполнял партии Папагено, Фигаро («Волшебная флейта», «Свадьба Фигаро» Моцарта), Шонара («Богема» Пуччини), Кота («Дитя и волшебство» Равеля), Данкайро («Кармен»), Дональда («Билли Бадд» Бриттена), Дона Карлоса («Каменный гость» Даргомыжского), Максимилиана/Капитана («Кандид» Бернстайна, театрализованное концертное исполнение),
Дона Альваро («Путешествие в Реймс» Россини), Энея («Дидона и Эней» Пёрселла). Участник премьеры новой постановки оперы «Так поступают все женщины» Моцарта (Гульельмо) на Новой сцене ГАБТа (2014, режиссер – Флорис Виссер).
Принимал участие в спектаклях Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко («Слепые» Леры Ауэрбах, «Песни у колодца» Елены Лангер); был участником летней академии фестиваля в Экс-ан-Провансе.
Сотрудничал с известными дирижерами, такими как Михаил Плетнёв, Владимир Спиваков, Туган Сохиев, Владимир Понькин, Евгений Бражник, Василий Синайский, Дмитрий Синьковский, Иван Великанов, Феликс Коробов, Сергей Скрипка, Антон Гришанин, Константин Чудовский, Стефано Монтанари, Кристофер Мулдс, Джованни Антонини, Оттавио Дантоне.
Среди важнейших событий последних сезонов – оперы «Эрисмена» Франческо Кавалли (Эриманф) на музыкальном фестивале в Экс-ан-Провансе, в Королевской опере Версаля и Большом театре Люксембурга с ансамблем Cappella Mediterranea под управлением Леонардо Гарсии Аларкона, «Свадьба Фигаро» (главная роль) в Опере Цюриха, «Заколдованный дворец» Луиджи Росси (Мандрикардо) с ансамблем Cappella Mediterranea под управлением Леонардо Гарсии Аларкона в Национальной опере Лотарингии в Нанси, Королевской опере Версаля и Опере Дижона, а также концертное исполнение оперы Франческо Сакрати «Мнимая сумасшедшая» в зале Консертгебау (Амстердам).